728 Вправа 728Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 138

728. Із селища виходять три дороги в напрямках: 1) південно-західному; 2) південному; 3) південно-східному. Якою б дорогою не йшов пішохід із селища, відношення його відстаней до двох інших доріг залишається сталим. Поясніть, чому це так.

Нехай O – селище, а пішохід іде дорогою OL (на південь). Візьмемо на ній дві довільні точки L і M та проведемо з них перпендикуляри до двох інших доріг: LK, LP, MK1, MP1.

∠O – спільний; ∠K = ∠K1 = 90°.

Отже, △OKL ∽ △OK1M (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{LK}}{{\mathbf{MK}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OL}}{\mathbf{OM}}}$.

∠O – спільний; ∠P = ∠P1 = 90°.

Отже, △OPL ∽ △OP1M (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{LP}}{{\mathbf{MP}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OL}}{\mathbf{OM}}}$.

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{LK}}{{\mathbf{MK}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{LP}}{{\mathbf{MP}}_{\mathbf{1}}}}$, тобто ${\displaystyle \frac{\mathbf{LK}}{\mathbf{LP}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{MK}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{MP}}_{\mathbf{1}}}}$.

Отже, для будь-яких точок дороги відношення відстаней до двох інших доріг однакове. Так само міркуємо і для інших доріг.