705 Вправа 705Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

705. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні висоти відносяться як сторони, до яких вони проведені.

Дано: △ABC ∽ △A1B1C1; BD і B1D1 – висоти.

Довести: ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$.

Доведення

∠A = ∠A1 (з подібності △ABC і △A1B1C1).

△ABD і △A1B1D1 – прямокутні (∠D = ∠D1 = 90°).

Отже, △ABD ∽ △A1B1D1 (за двома кутами).

З подібності трикутників ABD і A1B1D1 маємо:

${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ (з подібності △ABC і △A1B1C1).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{D}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$.

Що і потрібно було довести.