711 Вправа 711Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

711. У чотирикутнику ABCD з прямими кутами B і D проведено діагональ AC, а з її довільної точки M – прямі ML і MN, які відповідно перпендикулярні до прямих BC і AD. Доведіть, що ${\displaystyle \frac{\mathbf{ML}}{\mathbf{AB}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{MN}}{\mathbf{CD}}}$ = 1.

Доведення

∠B = ∠L = 90°; ∠C – спільний.

Отже, △CLM ∽ △CBA (за двома кутами).

З подібності трикутників: ${\displaystyle \frac{\mathbf{ML}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}}{\mathbf{AC}}}$. (1)

∠N = ∠D = 90°; ∠A – спільний.

Отже, △AMN ∽ △ACD (за двома кутами).

З подібності трикутників: ${\displaystyle \frac{\mathbf{MN}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AC}}}$. (2)

Додамо почленно рівності (1) і (2):

${\displaystyle \frac{\mathbf{ML}}{\mathbf{AB}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{MN}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}}{\mathbf{AC}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}\mathbf{+}\mathbf{AM}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AC}}}$ = 1.

Що і потрібно було довести.