712 Вправа 712Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

712. Два кола з радіусами R1 = 4 см і R2 = 6 см дотикаються зовні. Їхня спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці M. Знайдіть відстані від центрів цих кіл до точки M.

O1K ⊥ MN; O2N ⊥ MN (радіуси, проведені в точки дотику).

∠M – спільний; ∠K = ∠N = 90°.

Отже, △MKO1 ∽ △MNO2 (за двома кутами).

A – точка першого кола на відрізку MO1;

O2A = R2 + 2R1.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{NO}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{KO}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}\mathbf{M}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{1}}\mathbf{M}}}$, або ${\displaystyle \frac{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{AM}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{AM}}}$;

R1R2 + R2 · AM = R1R2 + 2R12 + R1 · AM;

(R2 – R1) · AM = 2R12;

AM = ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$.

O1M = R1 + AM = R1 + ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$;

O2M = R2 + 2R1 + AM = R2 + 2R1 + ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$.

R1 = 4 см; R2 = 6 см:

O1M = 4 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{4}}}$ = 4 + 16 = 20 (см);

O2M = 6 + 2 · 4 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{4}}}$ = 14 + 16 = 30 (см).

Відповідь: 20 см, 30 см.