719 Вправа 719Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

719. У коло з радіусом R вписано трикутник ABC зі сторонами BC = a і AB = c. Доведіть, що висоту hb до третьої сторони трикутника можна обчислити за формулою: hb = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$.

Доведення

Проведемо висоту BM і діаметр BD.

∠BAC = ∠BDC (вписані кути, що спираються на одну хорду BC);

∠BMA = 90° (BM ⊥ AC);

∠BCD = 90° (вписаний кут, що спирається на діаметр).

Отже, △ABM ∽ △DBC (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{BC}}}$, або ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{b}}}{\mathbf{a}}}$.

Звідси hb = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$.

Що і потрібно було довести.