707 Вправа 707Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

707. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні бісектриси відносяться як сторони, до яких вони проведені.

Дано: △ABC ∽ △A1B1C1; BK і B1K1 – відповідні бісектриси.

Довести: ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$.

Доведення

Оскільки ∠B = ∠B1, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B1, тобто ∠ABK = ∠A1B1K1;

∠A = ∠A1 (з подібності △ABC і △A1B1C1).

Звідси △ABK ∽ △A1B1K1 (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$.

Але ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ (з подібності △ABC і △A1B1C1).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{K}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$, тобто відповідні бісектриси відносяться як сторони, до яких вони проведені.

Що і потрібно було довести.