717 Вправа 717Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

717. Доведіть, що висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, до яких вони проведені (мал. 323).

Дано: △ABC; BC = a, AC = b, AB = c;

AK ⊥ BC, AK = ha; BH ⊥ AC, BH = hb;

CN ⊥ AB, CN = hc.

Довести: ha : hb : hc = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}}$.

Доведення

△AKC і △BHC – прямокутні; ∠C – спільний.

Отже, △AKC ∽ △BHC (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{BH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{BC}}}$; ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{a}}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{b}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}$, або ha : hb = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b}}}$.

△AKB і △CNB – прямокутні; ∠B – спільний.

Отже, △AKB ∽ △CNB (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{CN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{CB}}}$; ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{a}}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{c}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{a}}}$, або ha : hc = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}}$.

Отже, ha : hb : hc = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}}$.

Що і потрібно було довести.