702 Вправа 702Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

702. У рівнобедрений трикутник з основою a й бічною стороною b вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін трикутника, якщо: 1) a = 6 см, b = 10 см; 2) a = 10 см, b = 13 см.

△ABC – рівнобедрений, AC = a, AB = BC = b.

BK ⊥ AC; K – середина AC; AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

M і N – точки дотику кола до бічних сторін, K – до основи.

△AOK = △AOM (прямокутні; AO – спільна гіпотенуза; OM = OK як радіуси одного кола).

Звідси AM = AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$, тоді

MB = AB – AM = b – ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

MN – відстань між точками дотику кола до бічних сторін △ABC.

BK перетинає MN в точці P; P – середина MN; MN ∥ AC.

∠B – спільний;

∠BMP = ∠BAK (відповідні при MN ∥ AC і січній AB).

Отже, △MBP ∽ △ABK (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{MP}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{MB}}}$, або ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ : MP = b : ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

Звідси MP · b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$;

MP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{4}\mathbf{b}}}$;

d = MN = 2MP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}}$.

1) a = 6 см, b = 10 см:

d = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{10}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{\cdot }\mathbf{14}}{\mathbf{20}}}$ = 4,2 (см).

2) a = 10 см, b = 13 см:

d = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{13}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{13}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\mathbf{\cdot }\mathbf{16}}{\mathbf{26}}}$ = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{13}}}$ (см).

Відповідь: 1) 4,2 см; 2) 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{13}}}$ см.