722 Вправа 722Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 137

722. У трикутнику ABC з тупим кутом B проведено висоти BD і CM. Доведіть, що трикутники ABC і ADM подібні.

Дано: △ABC, ∠B – тупий; BD ⊥ AC; CM ⊥ AB (M – на продовженні сторони AB).

Довести: △ABC ∽ △ADM.

Доведення

Розглянемо чотирикутник DBMC.

∠BDC + ∠CMB = 90° + 90° = 180°, тоді

∠MBD + ∠MCD = 360° – 180° = 180°.

∠BDC і ∠CMB, ∠MBD і ∠MCD – протилежні кути чотирикутника DBMC.

Оскільки суми протилежних кутів дорівнюють 180°, то навколо чотирикутника DBMC можна описати коло.

∠BMD = ∠BCD (вписані кути, що спираються на одну хорду BD),

тобто ∠AMD = ∠ACB.

У △ABC і △ADM:

∠A – спільний;

∠ACB = ∠AMD (доведено вище).

Отже, △ABC ∽ △ADM (за двома кутами).

Що і потрібно було довести.