703 Вправа 703Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

703. Доведіть, що відстань d між точками дотику вписаного кола до бічних сторін b рівнобедреного трикутника з основою a можна обчислити за формулою: d = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}}$.

Дано: △ABC – рівнобедрений, AC = a, AB = BC = b; M, N – точки дотику вписаного кола до бічних сторін; MN = d.

Довести: d = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}}$.

Доведення

BK – висота і медіана, K – точка дотику кола до основи, AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

AM = AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ (відрізки дотичних, проведених з однієї точки).

Тоді MB = b – ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

BM = BN (відрізки дотичних, проведених з однієї точки), тому MN ∥ AC.

BK перетинає MN в її середині P.

∠B – спільний;

∠BMP = ∠BAK (відповідні при MN ∥ AC і січній AB).

Отже, △MBP ∽ △ABK (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{MP}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MB}}{\mathbf{AB}}}$;

MP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ : b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{4}\mathbf{b}}}$.

d = 2MP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}}$.

Що і потрібно було довести.