713 Вправа 713Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

713. Два кола з радіусами R1 = 3 см і R2 = 6 см дотикаються зовні. Їхня спільна зовнішня дотична перетинає лінію центрів у точці K. Знайдіть відстані від центрів цих кіл до точки K.

O1M ⊥ KN; O2N ⊥ KN (радіуси, проведені в точки дотику).

∠K – спільний; ∠M = ∠N = 90°.

Отже, △KMO1 ∽ △KNO2 (за двома кутами).

A – точка першого кола на відрізку KO1;

O2A = R2 + 2R1.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{NO}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{MO}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}\mathbf{K}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{1}}\mathbf{K}}}$, або ${\displaystyle \frac{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{AK}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{AK}}}$;

R1R2 + R2 · AK = R1R2 + 2R12 + R1 · AK;

(R2 – R1) · AK = 2R12;

AK = ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$.

O1K = R1 + AK = R1 + ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$;

O2K = R2 + 2R1 + AK = R2 + 2R1 + ${\displaystyle \frac{{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$.

R1 = 3 см; R2 = 6 см:

O1K = 3 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{3}}}$ = 3 + 6 = 9 (см);

O2K = 6 + 2 · 3 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{3}}}$ = 12 + 6 = 18 (см).

Відповідь: 9 см, 18 см.