720 Вправа 720Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 137

720. На колі з центром O й радіусом R, у якому проведено два взаємно перпендикулярні діаметри AB і CD, узято точку K. Хорда AK перетинає діаметр CD в точці M, а пряма BK – його продовження в точці N. Доведіть, що OM · ON = R2.

Доведення

∠AKB = 90° (вписаний кут, що спирається на діаметр);

∠NKM = 90° (суміжний з ∠AKB).

∠AOM = ∠NKM = 90°; ∠AMO = ∠NMK (вертикальні).

Отже, △AOM ∽ △NKM (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{NK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OM}}{\mathbf{KM}}}$. (1)

∠BON = ∠BKA = 90°; ∠B – спільний.

Отже, △BON ∽ △BKA (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{BK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{KA}}}$. (2)

∠BKA = ∠MKN = 90°; ∠BAK = ∠MNK (з подібності △AOM і △NKM).

Отже, △BAK ∽ △MNK (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{MK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KA}}{\mathbf{KN}}}$. (3)

З рівності (1): OM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}\mathbf{\cdot }\mathbf{KM}}{\mathbf{NK}}}$.

З рівності (2): ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}\mathbf{\cdot }\mathbf{KA}}{\mathbf{BK}}}$.

З рівності (3): BK · KN = MK · KA.

OM · ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}\mathbf{\cdot }\mathbf{KM}}{\mathbf{NK}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}\mathbf{\cdot }\mathbf{KA}}{\mathbf{BK}}}$ =

= AO · BO · ${\displaystyle \frac{\mathbf{KM}\mathbf{\cdot }\mathbf{KA}}{\mathbf{NK}\mathbf{\cdot }\mathbf{BK}}}$.

Оскільки BK · KN = MK · KA, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{KM}\mathbf{\cdot }\mathbf{KA}}{\mathbf{NK}\mathbf{\cdot }\mathbf{BK}}}$ = 1.

Отже, OM · ON = AO · OB · 1 = R · R = R2.

Що і потрібно було довести.