701 Вправа 701Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

701. Через точку M на стороні трикутника ABC проведено пряму, що відтинає від нього подібний трикутник. Скільки розв'язків має задача? Розгляньте випадки, коли △ABC: 1) різносторонній; 2) рівнобедрений; 3) рівносторонній.

1) △ABC – різносторонній, M ∈ AB.

а) Проведемо MK так, щоб ∠AMK = ∠C, K ∈ AC.

∠AMK = ∠ACB (за побудовою); ∠A – спільний.

Отже, △AMK ∽ △ACB (за двома кутами).

б) Проведемо MN так, щоб ∠BMN = ∠C, N ∈ BC.

∠B – спільний; ∠BMN = ∠BCA (за побудовою).

Отже, △BMN ∽ △BCA (за двома кутами).

в) Проведемо MP ∥ AC.

∠BMP = ∠BAC (відповідні); ∠B – спільний.

Отже, △BMP ∽ △BAC (за двома кутами).

г) Проведемо MZ ∥ BC.

∠A – спільний; ∠AZM = ∠ACB (відповідні).

Отже, △AMZ ∽ △ABC (за двома кутами).

Отже, задача має 4 розв'язки.

2) △ABC – рівнобедрений (AB = BC), M ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ AC.

∠B – спільний; ∠BMN = ∠BAC (відповідні).

Отже, △BMN ∽ △BAC (за двома кутами).

б) Проведемо MD ∥ BC.

∠A – спільний; ∠ADM = ∠ACB (відповідні).

Отже, △AMD ∽ △ABC (за двома кутами).

в) Проведемо MP так, щоб ∠AMP = ∠C (P ∈ AC).

∠A – спільний; ∠AMP = ∠ACB (за побудовою).

Отже, △AMP ∽ △ACB (за двома кутами).

Оскільки ∠A = ∠C, то пряма, для якої ∠BMN = ∠C, збігається з MN.

Отже, задача має 3 розв'язки.

3) △ABC – рівносторонній, M ∈ AB.

а) Проведемо MN ∥ AC.

∠B – спільний; ∠BMN = ∠BAC (відповідні).

Отже, △BMN ∽ △BAC (за двома кутами).

б) Проведемо MK ∥ BC.

∠A – спільний; ∠AMK = ∠ABC (відповідні).

Отже, △AMK ∽ △ABC (за двома кутами).

Оскільки всі кути рівні, інших прямих немає.

Отже, задача має 2 розв'язки.

Відповідь: 1) 4; 2) 3; 3) 2.