697 Вправа 697Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 135

697. Висоти AE і CD трикутника ABC перетинаються в точці H. Знайдіть ці висоти, якщо їхня сума дорівнює 18 см, AH = 8 см, CH = 4 см.

AE + CD = 18 см; AH = 8 см; CH = 4 см.

∠CEH = ∠ADH = 90° (AE і CD – висоти);

∠EHC = ∠DHA (вертикальні).

Отже, △CEH ∽ △ADH (за двома кутами).

З подібності трикутників:

${\displaystyle \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{AH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{EH}}{\mathbf{DH}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{8}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{EH}}{\mathbf{DH}}}$.

Нехай EH = x, тоді DH = 2x.

AE = x + 8 (см); CD = 4 + 2x (см).

За умовою AE + CD = 18 см. Отже,

x + 8 + 4 + 2x = 18;

3x = 6;

x = 2.

EH = 2 см; DH = 2 · 2 = 4 (см);

AE = AH + EH = 8 + 2 = 10 (см);

CD = CH + DH = 4 + 4 = 8 (см).

Відповідь: AE = 10 см, CD = 8 см.