716 Вправа 716Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 12 · стор. 136

716. У рівнобедреному трикутнику з основою AB через середину висоти CD проведено прямі AK і BL (K ∈ BC, L ∈ AC). Знайдіть довжину відрізка KL, якщо: 1) AB = 3 см; 2) AB = 4 см; 3) AB = 5 см.

Нехай AB = a; CD – висота й медіана; O – середина CD; AK і BL проходять через O.

Проведемо через C пряму, паралельну AB, і продовжимо AK до перетину з нею в точці T.

CO = OD (за умовою);

∠COT = ∠DOA (вертикальні);

∠OCT = ∠ODA = 90°.

Отже, △TOC = △AOD (за стороною і прилеглими кутами), тому CT = AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

∠CKT = ∠BKA (вертикальні);

∠KCT = ∠KBA (внутрішні різносторонні при CT ∥ AB і січній BC).

Отже, △CKT ∽ △BKA (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{CK}}{\mathbf{KB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CT}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ : a = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{CK}}{\mathbf{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$.

Аналогічно ${\displaystyle \frac{\mathbf{CL}}{\mathbf{CA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$.

Оскільки CA = CB, то CL = CK, тому △CLK – рівнобедрений і KL ∥ AB.

∠C – спільний;

∠CKL = ∠CBA (відповідні при KL ∥ AB і січній BC).

Отже, △CKL ∽ △CBA (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{\mathbf{KL}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CK}}{\mathbf{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$a.

1) AB = 3 см; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 3 = 1 (см);

2) AB = 4 см; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 4 = 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ (см);

3) AB = 5 см; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 5 = 1${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 1) 1 см; 2) 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ см; 3) 1${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см.