835 Вправа 835Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 166

835. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см; 2) 10 см; 3) a.

AB = BC = AC; BD ⊥ AC.

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ (висота рівностороннього трикутника є медіаною).

З прямокутного △ABD:

BD = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{AD}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{(}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}²}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\frac{\mathbf{AB}²}{\mathbf{4}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathbf{4}\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{AB}²}{\mathbf{4}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathbf{3}\mathbf{AB}²}{\mathbf{4}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$.

1) Якщо AB = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см, то BD = ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\cdot }\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 1,5 (см).

2) Якщо AB = 10 см, то BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

3) Якщо AB = a, то BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$.

Відповідь: 1) 1,5 см; 2) 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см; 3) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$.