874 Вправа 874Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

874. Доведіть, що в колі: 1) рівні хорди рівновіддалені від центра; 2) із двох нерівних хорд більша хорда ближча до центра.

OB = OD = R; OK ⊥ AB; OM ⊥ CD.

KB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$; MD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{2}}}$ (перпендикуляр, проведений із центра до хорди, ділить її навпіл).

1) Нехай AB = CD = 2a.

З △OKB: OK = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{OB}²\mathbf{-}\mathbf{(}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{a}²}}$.

З △OMD: OM = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{OD}²\mathbf{-}\mathbf{(}\frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{a}²}}$.

Отже, OK = OM, тобто рівні хорди рівновіддалені від центра.

2) Нехай AB = 2a; CD = 2b; b > a.

З △OKB: OK = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{OB}²\mathbf{-}\mathbf{(}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{a}²}}$.

З △OMD: OM = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{OD}²\mathbf{-}\mathbf{(}\frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{b}²}}$.

Оскільки b > a, то b² > a²; R² – b² < R² – a²;

${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{b}²}}$ < ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{R}²\mathbf{-}\mathbf{a}²}}$; OM < OK.

Отже, більша хорда CD ближча до центра.

Що і потрібно було довести.