873 Вправа 873Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

873. Доведіть, що коли d1 і d2 – діагоналі трапеції, a і b – її основи, c і d – бічні сторони, то d1² + d2² = c² + d² + 2ab.

Дано: ABCD – трапеція; BC = a, AD = b; AB = c, CD = d; BD = d1, AC = d2; BK ⊥ AD, CL ⊥ AD.

Довести: d1² + d2² = c² + d² + 2ab.

Доведення

KL = BC = a, тому AK + LD = b – a.

△KBD: BD² = BK² + KD² = (AB² – AK²) + (AD – AK)²;

d1² = c² – AK² + b² – 2b · AK + AK² = c² + b² – 2b · AK.

△ACL: AC² = CL² + AL² = (CD² – LD²) + (AD – LD)²;

d2² = d² – LD² + b² – 2b · LD + LD² = d² + b² – 2b · LD.

d1² + d2² = c² + d² + 2b² – 2b(AK + LD) =

= c² + d² + 2b² – 2b(b – a) =

= c² + d² + 2b² – 2b² + 2ab = c² + d² + 2ab.

Що і потрібно було довести.