868 Вправа 868Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

868. У прямокутному трикутнику медіана й висота, проведені з вершини прямого кута, дорівнюють m і n. Знайдіть периметр трикутника, якщо: 1) m = 25 см, n = 24 см; 2) m = 17 см, n = 15 см.

∠ACB = 90°; CH ⊥ AB; AM = MB;

CH = n; CM = m.

AB = 2CM = 2m (медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині).

З △CHM: HM = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{CM}²\mathbf{-}\mathbf{CH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{n}²}}$.

1) Якщо m = 25 см, n = 24 см, то AB = 2 · 25 = 50 (см);

HM = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{25}²\mathbf{-}\mathbf{24}²}}$ = 7 (см);

AH = AM – HM = 25 – 7 = 18 (см).

З △ACH: AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{HC}²\mathbf{+}\mathbf{AH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{24}²\mathbf{+}\mathbf{18}²}}$ = 30 (см).

BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{AC}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{50}²\mathbf{-}\mathbf{30}²}}$ = 40 (см).

P = 30 + 40 + 50 = 120 (см).

2) Якщо m = 17 см, n = 15 см, то AB = 2 · 17 = 34 (см);

HM = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{17}²\mathbf{-}\mathbf{15}²}}$ = 8 (см).

AH = AM – HM = 17 – 8 = 9 (см);

HB = HM + MB = 8 + 17 = 25 (см).

З △ACH: AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{9}²\mathbf{+}\mathbf{15}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{306}}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ (см).

З △BCH: BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{15}²\mathbf{+}\mathbf{25}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{850}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ (см).

P = 34 + 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ + 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ = 34 + 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ ≈ 80,7 (см).

Відповідь: 1) 120 см; 2) 34 + 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{34}}}$ ≈ 80,7 см.