875 Вправа 875Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

875. Два кола дотикаються зовнішньо. Доведіть, що відрізок їхньої зовнішньої спільної дотичної, що лежить між точками дотику, – середнє пропорційне між діаметрами кіл.

Дано: кола з центрами O1, O2 і радіусами R, r дотикаються зовнішньо; AB – спільна зовнішня дотична, A і B – точки дотику.

Довести: AB² = 2R · 2r.

Доведення

O1A ⊥ AB, O2B ⊥ AB (радіуси, проведені в точки дотику).

Проведемо O2K ⊥ O1A. Тоді ABO2K – прямокутник:

KO2 = AB; AK = O2B = r; O1K = R – r.

O1O2 = R + r (кола дотикаються зовнішньо).

△O1KO2 (∠K = 90°):

KO2² = O1O2² – O1K² = (R + r)² – (R – r)² = 4Rr.

Отже, AB² = 4Rr = 2R · 2r, тобто AB – середнє пропорційне між діаметрами кіл.

Що і потрібно було довести.