870 Вправа 870Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

870. Висота й медіана, проведені до сторони c трикутника, дорівнюють h і m. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо: 1) c = 60 см, h = 12 см, m = 13 см; 2) c = 42 см, h = 12 см, m = 13 см.

CH ⊥ AB, CH = h, AM = MB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, CM = m.

З △CHM: MH = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{CM}²\mathbf{-}\mathbf{CH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{h}²}}$;

AH = AM + MH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$ + ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{h}²}}$;

HB = MB – MH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$ – ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{h}²}}$.

З △ACH: AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AH}²\mathbf{+}\mathbf{CH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{h}²}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{h}²}}$.

З △BCH: BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{m}²\mathbf{-}\mathbf{h}²}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{h}²}}$.

1) c = 60 см, h = 12 см, m = 13 см;

MH = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{13}²\mathbf{-}\mathbf{12}²}}$ = 5 (см).

AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{30}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{35}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = 37 (см);

BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{30}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{25}²\mathbf{+}\mathbf{144}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{769}}}$ ≈ 27,7 (см).

2) c = 42 см, h = 12 см, m = 13 см;

MH = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{13}²\mathbf{-}\mathbf{12}²}}$ = 5 (см).

AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{21}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{26}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{820}}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{205}}}$ ≈ 28,6 (см);

BC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{21}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{16}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = 20 (см).

Відповідь: 1) 37 см, ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{769}}}$ ≈ 27,7 см; 2) 20 см, 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{205}}}$ ≈ 28,6 см.