872 Вправа 872Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

872. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Дано: ABCD – паралелограм; BN ⊥ AD; CM ⊥ AD.

Довести: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA².

Доведення

AB = DC (протилежні сторони паралелограма);

BN = CM (відстані між паралельними прямими AD і BC).

△ABN = △DCM (за гіпотенузою та катетом).

Звідси AN = DM.

△NBD: BD² = BN² + ND² = BN² + (AD – AN)².

△ACM: AC² = CM² + AM² = BN² + (AD + AN)².

З △ABN: BN² = AB² – AN².

AC² + BD² = BN² + (AD + AN)² + BN² + (AD – AN)² =

= AB² – AN² + AD² + 2AD · AN + AN² +

+ AB² – AN² + AD² – 2AD · AN + AN² =

= AB² + AD² + AB² + AD² = 2AB² + 2AD².

Оскільки CD = AB, BC = AD, то

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA².

Що і потрібно було довести.