876 Вправа 876Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

876. Відстань між центрами кіл радіусами 6 см і 2 см дорівнює 10 см. Знайдіть довжину відрізка AB спільної внутрішньої дотичної (мал. 390).

Дано: кола (O; 6 см) і (O1; 2 см); OO1 = 10 см; AB – спільна внутрішня дотична; C – точка перетину AB і OO1.

Знайти: AB.

Розв'язання

OA ⊥ AB, O1B ⊥ AB (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної);

∠OCA = ∠O1CB (вертикальні).

△OCA ∼ △O1CB (за двома кутами);

k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{1}}\mathbf{B}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}}$ = 3.

Нехай OC = x см, тоді CO1 = (10 – x) см.

${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{{\mathbf{CO}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$ = 3;

x = 30 – 3x;

x + 3x = 30;

4x = 30;

x = 7,5.

OC = 7,5 см; CO1 = 10 – 7,5 = 2,5 (см).

△OAC (∠A = 90°): OC² = OA² + AC²;

AC = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{OC}²\mathbf{-}\mathbf{OA}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{5}²\mathbf{-}\mathbf{6}²}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{56}\mathbf{,}\mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{36}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{20}\mathbf{,}\mathbf{25}}}$ = 4,5 (см);

${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{CB}}}$ = 3; CB = AC : 3 = 4,5 : 3 = 1,5 (см);

AB = AC + CB = 4,5 + 1,5 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.