853 Вправа 853Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 168

853. Одна з діагоналей паралелограма перпендикулярна до сторони. Знайдіть довжину діагоналей, якщо сторони паралелограма дорівнюють: 1) 15 см і 9 см; 2) 7 см і 25 см.

ABCD – паралелограм, AB ⊥ BD; O – точка перетину діагоналей.

1) AD = 15 см, AB = 9 см.

З △ABD: BD = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AD}²\mathbf{-}\mathbf{AB}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{15}²\mathbf{-}\mathbf{9}²}}$ = 12 (см).

BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD (діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл);

BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 12 = 6 (см).

З △ABO (∠B = 90°):

AO = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{+}\mathbf{BO}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{9}²\mathbf{+}\mathbf{6}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{117}}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{\mathbf{13}}}$ (см).

Тоді AC = 2AO = 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{13}}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{117}}}$ ≈ 21,6 (см).

2) AD = 25 см; AB = 7 см.

З △ABD: BD = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AD}²\mathbf{-}\mathbf{AB}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{25}²\mathbf{-}\mathbf{7}²}}$ = 24 (см).

Тоді BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 24 = 12 (см).

З △ABO: AO = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{7}²\mathbf{+}\mathbf{12}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{193}}}$ (см), тоді

AC = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{193}}}$ ≈ 27,8 (см).

Відповідь: 1) 12 см, 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{117}}}$ ≈ 21,6 см; 2) 24 см, 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{193}}}$ ≈ 27,8 см.