839 Вправа 839Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 167

839. Доведіть, що коли a – сторона ромба, d1 і d2 – його діагоналі, то 4a² = d1² + d2².

Дано: ABCD – ромб; AB = a; AC = d1; BD = d2.

Довести: 4a² = d1² + d2².

Доведення

AO = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}}$; BO = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$; ∠AOB = 90° (діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл).

З прямокутного △AOB: AO² + BO² = AB², або

(${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}}$)² + (${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$)² = a²;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}²}{\mathbf{4}}}$ + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}²}{\mathbf{4}}}$ = a²;

d1² + d2² = 4a².

Що і потрібно було довести.