871 Вправа 871Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 170

871. Знайдіть висоти трикутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 10 см, 10 см, 12 см; 2) 7 см, 15 см, 20 см.

1) AB = BC = 10 см, AC = 12 см; BD ⊥ AC, AK ⊥ BC, CL ⊥ AB.

AD = DC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 12 = 6 (см).

З △ABD: BD = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{AD}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{10}²\mathbf{-}\mathbf{6}²}}$ = 8 (см).

Нехай BK = x, тоді KC = 10 – x;

AB² – BK² = AC² – KC²;

10² – x² = 12² – (10 – x)²;

100 – x² = 144 – 100 + 20x – x²;

20x = 56; x = 2,8.

AK = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{BK}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{100}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{84}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{92}\mathbf{,}\mathbf{16}}}$ = 9,6 (см).

CL = AK = 9,6 см (трикутник рівнобедрений).

2) BC = 7 см, AB = 15 см, AC = 20 см; BK ⊥ AC, AH ⊥ BC, CL ⊥ AB.

Нехай AK = x, KC = 20 – x, тоді

AB² – AK² = BC² – KC²;

15² – x² = 7² – (20 – x)²;

225 – x² = 49 – 400 + 40x – x²;

40x = 576; x = 14,4.

BK = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{AK}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{15}²\mathbf{-}\mathbf{14}\mathbf{,}\mathbf{4}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{17}\mathbf{,}\mathbf{64}}}$ = 4,2 (см).

Нехай BH = y; тоді HC = 7 – y;

AB² – BH² = AC² – HC²;

15² – y² = 20² – (7 – y)²;

225 – y² = 400 – 49 + 14y – y²;

14y = –126; y = –9.

Знак «–» означає, що точка H лежить на продовженні сторони BC за точку B, BH = 9 см.

AH = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AB}²\mathbf{-}\mathbf{BH}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{15}²\mathbf{-}\mathbf{9}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{225}\mathbf{-}\mathbf{81}}}$ = 12 (см).

Нехай BL = z, тоді AL = 15 – z;

BC² – BL² = AC² – AL²;

7² – z² = 20² – (15 – z)²;

49 – z² = 400 – 225 + 30z – z²;

30z = –126; z = –4,2.

Точка L лежить на продовженні сторони AB за точку B, BL = 4,2 см.

CL = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{BC}²\mathbf{-}\mathbf{BL}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{7}²\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{2}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{31}\mathbf{,}\mathbf{36}}}$ = 5,6 (см).

Відповідь: 1) 8 см, 9,6 см, 9,6 см; 2) 12 см, 5,6 см, 4,2 см.