877 Вправа 877Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 15 · стор. 171

877. (Задача Архімеда) Дві хорди, які перетинаються, – взаємно перпендикулярні. Доведіть, що сума квадратів відрізків цих хорд дорівнює квадрату діаметра (мал. 391).

Дано: AB і CD – хорди; AB ⊥ CD; M – точка їх перетину.

Довести: AM² + MB² + CM² + MD² = d², d – діаметр.

Доведення

Проведемо BE ∥ CD, тоді BE ⊥ AB.

∠ABE = 90° і є вписаним кутом, тому AE – діаметр кола.

△AEC: ∠ACE = 90° (вписаний кут, що спирається на діаметр);

AE² = AC² + CE².

∪BD = ∪EC (дуги, що лежать між паралельними хордами, рівні).

DB = EC (рівні дуги стягують рівні хорди).

△DBM (∠DMB = 90°): DB² = DM² + MB².

△AMC (∠AMC = 90°): AC² = AM² + MC².

Тоді MD² + MB² + MA² + MC² = DB² + AC² =

= EC² + AC² = AE² = d².

Що і потрібно було довести.