1174 Вправа 1174Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 216

1174. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 30 см і 40 см. Знайди площу трикутника.

△ABC – прямокутний, ∠C = 90°. CM — бісектриса ∠C.

M ∈ AB; MB = 30 см; AM = 40 см.

За властивістю бісектриси кута трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{MA}}}$ = ${\displaystyle \frac{30}{40}}$ = ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Нехай CB = 3x;

CA = 4x.

AB = AM + MB = 40 + 30 = 70 (см).

За теоремою Піфагора: AC² + CB² = AB²;

16x² + 9x² = 70²;

25x² = 4900;

x² = 196;

x = 14.

Тоді CB = 3x = 3 · 14 = 42 (см), AC = 4x = 4 · 14 = 56 (см).

S = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$CB · AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 42 · 56 = 1176 (см²).

Відповідь: 1176 см².