1219 Вправа 1219Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 219

1219. Доведи, що сума відстаней від точки, яка лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін не залежить від положення цієї точки.

△ABC — рівносторонній трикутник зі стороною a. M — точка всередині △ABC.

MK ⊥ AB; MN ⊥ BC; MZ ⊥ AC.

Де б ми не взяли точку M, з'єднавши A, B, C з точкою M, маємо:

S△ABM + S△BMC + S△AMC = S△ABC.

S△ABM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MK;

S△BMC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MN;

S△AMC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MZ;

S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\sqrt{3}}{4}}$, тоді ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MK + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MN + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · MZ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\sqrt{3}}{4}}$.

MK + MN + MZ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$, тобто сума відстаней від точки M до сторін трикутника незмінна і дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$.