1208 Вправа 1208Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 218

1208. Точку перетину медіан трикутника (центр мас) сполучили з його вершинами. Порівняй площу кожного з трьох утворених трикутників з площею даного трикутника.

△ABC — довільний трикутник, O — центр мас. Порівняємо S△ABC і S△AOC.

Проведемо BN ⊥ AC і OZ ⊥ AC, BN ∥ OZ (два перпендикуляри до однієї прямої).

△BNK ~ △OZK (за двома кутами:

∠N = ∠Z = 90°; ∠K — спільний).

З подібності трикутників: BN : OZ = BK : OK.

Оскільки BK : OK = 3 : 1 (точка перетину медіан ділить медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини), то BN : OZ = 3 : 1.

Тобто висота BN трикутника ABC втричі більша, ніж висота OZ трикутника AOC, а основа у цих трикутників спільна (AC).

Тому площа △ABC втричі більша, ніж площа △AOC.

Аналогічно площа △ABC втричі більша, ніж площа △BOC та площа △BOA.

Відповідь: площа кожного з трьох трикутників дорівнює ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ площі даного трикутника.