1213 Вправа 1213Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 219

1213. Через точку перетину медіан △ABC паралельно AC проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точках M і N. Знайди площу △ABC, якщо площа △MBN дорівнює S.

△ABC — довільний трикутник; O — точка перетину медіан; MN ∥ AC; O ∈ MN; M ∈ AB; N ∈ BC; S△MBN = S.

MN ∥ AC, тому ∠BMN = ∠BAC; ∠B — спільний для △BMN і △ABC.

Звідси △MBN ~ △ABC (за двома кутами).

BO : OK = 2 : 1 (властивість медіан).

MN ∥ AC, тому за теоремою Фалеса BM : MA = 2 : 1, а BM : BA = 2 : 3.

△MBN ~ △ABC з коефіцієнтом подібності ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

S△MBN : S△ABC = (${\displaystyle \frac{2}{3}}$)² = ${\displaystyle \frac{4}{9}}$;

S : S△ABC = 4 : 9.

Звідси: S△ABC = ${\displaystyle \frac{9\mathrm{S}}{4}}$ = 2,25S.

Відповідь: 2,25S.