1201 Вправа 1201Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 218

1201. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30°. Знайди периметр трикутника, якщо його площа дорівнює 16${\displaystyle \sqrt{3}}$ см².

△ABC — рівнобедрений, AB = BC. ∠A = ∠C = 30°. S△ = 16${\displaystyle \sqrt{3}}$ см².

Нехай AB = BC = x.

З △ABK (BK ⊥ AC): BK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$x (катет, що лежить проти кута 30°).

За теоремою Піфагора:

AK² = AB² – BK² = x² – ${\displaystyle \frac{1}{4}}$x² = ${\displaystyle \frac{3\mathrm{x}²}{4}}$;

AK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}\sqrt{3}}{2}}$.

Звідси AC = 2AK = x${\displaystyle \sqrt{3}}$.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC · BK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · x${\displaystyle \sqrt{3}}$ · ${\displaystyle \frac{1}{2}}$x = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}²\sqrt{3}}{4}}$.

За умовою S = 16${\displaystyle \sqrt{3,}}$ тому ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}²\sqrt{3}}{4}}$ = 16${\displaystyle \sqrt{3}}$;

x² = 64;

x = 8.

Отже, AB = BC = 8 см, AC = 8${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

P△ABC = AB + BC + AC = 8 + 8 + 8${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 16 + 8${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

Відповідь: (16 + 8${\displaystyle \sqrt{3}}$) см.