1215 Вправа 1215Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 219

1215. Доведи, що сторони трикутника обернено пропорційні до його висот, тобто a : b = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}}}$; a : c = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}}$; b : c = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}}$.

S△ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$aha = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$bhb = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$chc.

Звідси aha = bhb = chc.

З рівності aha = bhb маємо: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}}$, тобто a : b = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}}}$.

Аналогічно з рівності aha = chc: a : c = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}}$.

З рівності bhb = chc: b : c = ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}}$.