1194 Вправа 1194Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 21 · стор. 217

1194. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайди площі трикутників, на які бісектриса більшого гострого кута ділить даний трикутник.

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = 5 см; AC = 12 см; BK – бісектриса ∠B (більший гострий кут лежить проти більшого катета AC).

Знайти: S△KBA, S△KBC.

Розв'язання

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · AC · BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 12 · 5 = 30 (см²).

△ABC (∠C = 90°):

AB² = AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169; AB = 13 см.

За властивістю бісектриси: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{KC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{13}{5}}$.

BC — спільна висота трикутників KBA і KBC, тому S△KBA : S△KBC = AK : KC = 13 : 5.

Нехай S△KBA = 13x см², тоді S△KBC = 5x см².

13x + 5x = 30;

18x = 30;

x = ${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

S△KBA = 13 · ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{65}{3}}$ = 21${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (см²);

S△KBC = 5 · ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{25}{3}}$ = 8${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (см²).

Відповідь: 21${\displaystyle \frac{2}{3}}$ см²; 8${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см².