397 Вправа 397Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 69

397. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого, взяті послідовно, пропорційні числам: а) 2, 5, 7 і 4; б) 3, 4, 7 і 5?

а) Нехай кути A, B, C, D чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 5, 7, 4, тоді

∠A = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 2}{2+5+7+4}}$ = 40°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 5}{18}}$ = 100°,

∠C = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 7}{18}}$ = 140°, ∠D = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 4}{18}}$ = 80°.

Оскільки ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°, то коло можна описати навколо даного чотирикутника.

б) Нехай кути A, B, C, D чотирикутника ABCD пропорційні числам 3, 4, 7, 5, тоді

∠A = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 3}{3+4+7+5}}$ = ${\displaystyle \frac{{1080}^{\circ }}{19}}$, ∠B = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 4}{19}}$ = ${\displaystyle \frac{{1440}^{\circ }}{19}}$,

∠C = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 7}{19}}$ = ${\displaystyle \frac{{2520}^{\circ }}{19}}$, ∠D = ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 5}{19}}$ = ${\displaystyle \frac{{1800}^{\circ }}{19}}$.

Оскільки ∠A + ∠C = ${\displaystyle \frac{{1080}^{\circ }}{19}}$ + ${\displaystyle \frac{{2520}^{\circ }}{19}}$ = ${\displaystyle \frac{{3600}^{\circ }}{19}}$ ≠ 180°, то коло не можна описати навколо даного чотирикутника.

Відповідь: а) можна; б) не можна.