447 Вправа 447Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 73

447. Доведи, що коли три кути описаного чотирикутника рівні, то він — дельтоїд.

Нехай ∠A = ∠B = ∠C, O — центр кола, вписаного в чотирикутник ABCD; точки M, N, P, Q — точки дотику, тоді OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CD, OQ ⊥ AD. AO і CO — бісектриси кутів A і C.

Доведемо, що відрізки AO і CO лежать на діагоналі AC:

∠AOC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠MOQ + ∠MON + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠NOP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – ∠A) + (180° – ∠B) + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – ∠C) = 90° – ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A + 180° – ∠B + 90° – ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠C = 360° – (${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠C + ∠B) = 360° – 180° = 180°.

△NOC = △QOA (∠N = ∠Q = 90°) за катетом і протилежним гострим кутом: ON = OQ = r, ∠OCN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠C = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A = ∠OAQ, тоді NC = AQ.

Тоді AB = AM + MB = AQ + BN = NC + BN = BC,

AD = AQ + QD = NC + DP = CP + DP = CD.

Оскільки AB = BC, AD = CD, то ABCD — дельтоїд.