448 Вправа 448Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 73

448. Дослідіть, яким є: а) вписаний чотирикутник, три кути якого рівні; б) вписаний чотирикутник, три сторони якого рівні; в) описаний чотирикутник, три сторони якого рівні.

а)

Нехай ∠A = ∠B = ∠C. Оскільки ∠A = ∠C та ∠A + ∠C = 180°, то ∠A = ∠C = 90°, тоді ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Отже, ABCD — прямокутник або квадрат.

б)

Нехай AB = BC = CD, тоді ◡AB = ◡BC = ◡CD = α.

∠A = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(◡BC + ◡CD) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 2α = α, ∠D = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(◡AB + ◡BC) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 2α = α.

Оскільки ∠B + ∠D = 180°, то ∠B + α = ∠B + ∠A = 180°.

Оскільки ∠B + ∠A = 180°, а кути A і B — внутрішні односторонні при прямих BC і AD та січній AB, то BC ∥ AD.

Отже, ABCD — рівнобічна трапеція (або квадрат).

в)

Нехай AB = BC = CD. Оскільки AB + CD = BC + AD, то AD = AB.

Тоді AB = BC = CD = AD, тобто ABCD — ромб або квадрат.