413 Вправа 413Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 70

413. Кути трапеції пропорційні числам 1 і 2, а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайди радіус описаного кола, якщо бічна сторона трапеції дорівнює 12 см.

ABCD — трапеція, ∠BAD : ∠B = 1 : 2, AB = CD = 12 см, ∠1 = ∠2.

∠BAD = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 1}{1+2}}$ = 60°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 2}{1+2}}$ = 120°, ∠1 = ∠2 = ${\displaystyle \frac{{60}^{\circ }}{2}}$ = 30°.

Оскільки BC ∥ AD, то ∠BCA = ∠2 = 30°, тоді ∠ACD = ∠BCD – ∠BCA = 120° – 30° = 90°.

Із прямокутного трикутника ACD маємо AD = 2CD = 2 · 12 = 24 (см).

Оскільки ∠ACD = 90°, то AD — діаметр описаного кола (див. задачу 410), тоді R = AO = DO = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{24}{2}}$ = 12 (см).

Відповідь: 12 см.