405 Вправа 405Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 69

405. Доведи, що точка перетину діагоналей квадрата є центром кола, вписаного у квадрат.

Дано: ABCD – квадрат; AC, BD – діагоналі; AC ∩ BD = O.

Довести: O – центр вписаного кола.

Доведення:

За властивістю квадрата: AO = OC = BO = OD.

В △BOA і △AOD:

1) BO = DO;

2) AB = AD;

3) OA – спільна,

тоді △BOA = △AOD за трьома сторонами.

Тоді OK = OM як висоти рівних трикутників.

Аналогічно доводиться, що OP = OM і ON = OM.

Точка O знаходиться на однаковій відстані від усіх сторін квадрата. Тому O – центр вписаного кола.