449 Вправа 449Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 73

449. Доведи, що периметр трапеції, описаної навколо кола радіуса r, більший за 8r.

ABCD — трапеція, описана навколо кола радіуса r з центром O.

Висота трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 2r. Кожна бічна сторона не менша за висоту (похила не коротша від перпендикуляра), а обидві дорівнювати висоті не можуть — тоді обидві бічні сторони були б перпендикулярні до основ і ABCD був би прямокутником. Тому AB + CD > 2r + 2r = 4r.

Оскільки трапеція описана, то BC + AD = AB + CD, тому BC + AD > 4r.

Тоді PABCD = (AB + CD) + (BC + AD) > 4r + 4r = 8r.

Отже, периметр трапеції, описаної навколо кола радіуса r, більший за 8r.