422 Вправа 422Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 7 · стор. 71

422. Радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію, дорівнює 7 см, а тупий кут 150°. Знайди середню лінію трапеції.

Дано: ABCD – описана трапеція; ∠A = ∠B = 90°; r = 7 см; ∠BCD = 150°; MN – середня лінія.

Знайти: MN.

Розв'язання:

Проведемо висоту CH ⊥ AD. Висота трапеції, описаної навколо кола, дорівнює діаметру кола:

CH = AB = 2r = 2 · 7 = 14 (см);

∠HCD = ∠BCD – ∠BCH = 150° – 90° = 60°;

△CHD (∠H = 90°): ∠D = 90° – ∠HCD = 90° – 60° = 30°.

Катет CH лежить проти кута 30°.

CD = 2 · CH = 2 · 14 = 28 (см).

За властивістю описаного чотирикутника:

BC + AD = AB + CD;

BC + AD = 14 + 28 = 42 (см);

MN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(BC + AD) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 42 = 21 (см).

Відповідь: 21 см.