285 Вправа 285Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 50

285. Середня лінія трапеції ABCD (AD ∥ BC) дорівнює 30 см (мал. 5.16). Знайдіть основи трапеції, якщо: а) AD більша за BC на 6 см; б) AD більша за BC у 5 разів; в) AD : BC = 2 : 3.

1 спосіб:

BC ∥ AD, MN — середня лінія трапеції, MN = 30 см.

Знайти BC і AD, якщо: а) AD − BC = 6 см; б) AD = 5BC; в) AD : BC = 2 : 3.

Насамперед, з умови, знаходимо AD + BC = 2MN = 2 · 30 = 60 (см). Тоді:

а) розв'язуємо систему рівнянь:

AD + BC = 60,

AD − BC = 6;

2AD = 66, AD = 33.

Тоді BC = 60 − AD = 60 − 33 = 27 (см). Отже, основи трапеції дорівнюють 27 см і 33 см.

б) Розв'язуємо систему рівнянь:

AD + BC = 60,

AD = 5BC;

5BC + BC = 60; 6BC = 60;

BC = 10 (см); AD = 50 (см).

в) Можна вважати, що AD = 2x, BC = 3x, де x — деяке додатне число. З умови AD + BC = 60 знаходимо: 2x + 3x = 60, 5x = 60, x = 12, тоді 2x = 24, 3x = 36. Отже, AD = 24 см, BC = 36 см.

2 спосіб:

MN — середня лінія трапеції, MN = 30 см, тоді BC + AD = 2 · 30 = 60 (см) (теорема 9).

а) Оскільки AD − BC = 6 см, AD + BC = 60 см, то

AD = ${\displaystyle \frac{60+6}{2}}$ = 33 (см), BC = ${\displaystyle \frac{60-6}{2}}$ = 27 (см).

б) Оскільки AD = 5BC, AD + BC = 60 см, то

AD = ${\displaystyle \frac{60\cdot 5}{1+5}}$ = 50 (см), BC = ${\displaystyle \frac{60\cdot 1}{1+5}}$ = 10 (см).

в) Оскільки AD : BC = 2 : 3, AD + BC = 60 см, то

AD = ${\displaystyle \frac{60\cdot 2}{2+3}}$ = 24 (см), BC = ${\displaystyle \frac{60\cdot 3}{2+3}}$ = 36 (см).

Відповідь: а) 33 см і 27 см; б) 50 см і 10 см; в) 24 см і 36 см.