310 Вправа 310Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 52

310. Доведи, що бісектриси кутів A і B трапеції ABCD (AD ∥ BC) перетинаються під прямим кутом і точка їх перетину лежить на середній лінії трапеції (мал. 5.20).

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

∠AFB = 180° − (∠1 + ∠3) = 180° − (${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠ABC + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠BAD) = 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 90°.

Проведемо FM ∥ BC (M ∈ AB), тоді FM ∥ AD і ∠BFM = ∠2 (внутрішні різносторонні кути). Отже, ∠1 = ∠MFB, тоді MB = MF.

∠MFA = ∠4 (внутрішні різносторонні кути), тоді ∠MFA = ∠3, тоді MF = MA.

Оскільки MB = MF, MF = MA, то MB = MA, тобто M — середина AB.

Пряма, що проходить через середину бічної сторони паралельно основам, містить середню лінію MN (теорема 7, Фалеса). Отже, F лежить на середній лінії трапеції.