304 Вправа 304Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 52

304. Сторони трапеції дорівнюють a, a, a і 2a. Знайдіть її кути і кут між діагоналями. Чи існує точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції?

1 спосіб:

AB = BC = CD = a; AD = 2a.

Знайти ∠A, ∠B, ∠BOC.

За умовою AB = BC, тому △ABC — рівнобедрений, ∠BAC = ∠BCA. Крім того, ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD. Тоді ∠BAC = ∠CAD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A. Так само ∠ADB = ∠BDC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠D.

Отже, ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD = ∠ADB = ∠CDB = ∠CBD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A.

Далі, сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°.

Зробимо допоміжну побудову: BM ⊥ AD і CN ⊥ AD, тоді BCNM — прямокутник і MN = BC = a як протилежні сторони прямокутника.

△ABM і △DCN — прямокутні і рівні (за гіпотенузою і катетом: AB = CD; BM = CN), AM = ND; але AM + ND = AD − MN = AD − BC = 2a − a = a, тоді AM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB.

Це означає, що в △ABM ∠ABM = 30°, тобто ∠A = 60°. Отже, ∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°.

Таким чином, ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°, ∠BOC = 180° − ∠OBC − ∠OCB = 180° − 30° − 30° = 120°, тоді гострий кут між діагоналями ∠AOB = 180° − 120° = 60°.

2 спосіб:

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = BC = CD = a, AD = 2a. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді

AK = MD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{a}-\mathrm{a}}{2}}$ = 0,5a.

Із трикутника ABK маємо ∠ABK = 30°, тоді ∠A = 60°, ∠ABC = 30° + 90° = 120°, ∠BCD = 120°, ∠D = 60°.

Точка, рівновіддалена від усіх вершин, існує — це середина E основи AD: AE = ED = a = BC і AE ∥ BC, тому ABCE і EBCD — паралелограми, EB = CD = a, EC = AB = a.

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°; кут між діагоналями 120° (або 60°); так, середина більшої основи.