308 Вправа 308Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 52

308. Доведи, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам трапеції і дорівнює їх піврізниці.

1 спосіб:

BC ∥ AD; AK = KC, BL = LD.

Потрібно довести, що KL ∥ AD ∥ BC, KL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(AD − BC).

MN — середня лінія трапеції, тобто KL ∥ BC ∥ AD; KL = MN − MK − LN, MK = LN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC (див., наприклад, розв'язок до № 283 або № 306).

Крім того, MN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(AD + BC), тому KL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(AD + BC) − BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(AD − BC).

2 спосіб:

ABCD — трапеція, BC ∥ AD. Проведемо MN — середню лінію трапеції, тоді вона проходить через K і L — середини діагоналей AC і BD відповідно (теорема 7, Фалеса).

Оскільки MN ∥ AD, MN ∥ BC, то KL ∥ AD, KL ∥ BC.

Із трикутника ABC маємо: MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC, а із трикутника ABD маємо ML = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD.

Тоді KL = ML − MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}}$.