314 Вправа 314Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 53

314. У трапеції з основами AD і BC кути ABD і ACD прямі. Доведи, що вона рівнобічна.

Дано: ABCD — трапеція; BC ∥ AD; ∠ABD = ∠ACD = 90°.

Довести: AB = CD.

Доведення:

Нехай O — середина AD. BO — медіана прямокутного △ABD, проведена до гіпотенузи, тому BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD (медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині: якщо добудувати △ABD до прямокутника, то BO — половина його діагоналі). Так само CO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AD.

OB = OC, тому △OBC — рівнобедрений: ∠OBC = ∠OCB.

∠OBC = ∠BOA, ∠OCB = ∠COD (внутрішні різносторонні кути), тому ∠BOA = ∠COD.

△AOB = △DOC (за двома сторонами і кутом між ними: AO = OD, OB = OC, ∠AOB = ∠DOC).

Отже, AB = CD, трапеція рівнобічна.