307 Вправа 307Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 52

307. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на 3 рівні частини. Як відносяться основи трапеції?

1 спосіб:

BC ∥ AD; MN — середня лінія трапеції, MK = KL = LN.

Знайти відношення BC : AD.

Спочатку проведемо відрізок CP (CP ∥ AB, P ∈ AD). Згідно з розв'язком задачі № 306 MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC, але за умовою MK = KL, тому ML = BC і ML ∥ BC. Отже, чотирикутник BCLM — паралелограм, тобто, чотирикутник ABCP — теж паралелограм і AP = BC.

Оскільки AD = AP + PD, то PD = 2LN як середня лінія △PCD, тобто PD = 2 · ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = BC.

Отже, AD = BC + BC = 2BC і BC : AD = 1 : 2.

2 спосіб:

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, MN — середня лінія трапеції, MK = KL = LN = a.

Із трикутника ABC маємо BC = 2MK = 2a.

Із трикутника ABD маємо AD = 2ML = 2 · 2a = 4a.

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{a}}{4\mathrm{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Відповідь: 1 : 2.