311 Вправа 311Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 5 · стор. 53

311. Основи трапеції a і 2a (мал. 5.21). Дві прямі, паралельні її основам, ділять одну з бічних сторін на три рівні відрізки. Знайди довжини відрізків цих прямих, що лежать усередині трапеції.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, BC = a, AD = 2a, AK = KL = LB, KN ∥ AD ∥ LM ∥ BC.

Нехай KN = x, тоді LM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KN}+\mathrm{BC}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{2}}$ (LM — середня лінія трапеції KBCN).

З іншого боку KN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{LM}+\mathrm{AD}}{2}}$ (KN — середня лінія трапеції ALMD).

2KN = LM + AD;

2x = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{2}}$ + 2a;

4x = x + a + 4a;

3x = 5a;

x = ${\displaystyle \frac{5\mathrm{a}}{3}}$.

Отже, KN = ${\displaystyle \frac{5\mathrm{a}}{3}}$, LM = (${\displaystyle \frac{5\mathrm{a}}{3}}$ + a) : 2 = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{a}}{3}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{4\mathrm{a}}{3}}$ і ${\displaystyle \frac{5\mathrm{a}}{3}}$.