104 Вправа 104Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 22

104. ABCD — паралелограм. Зовні нього побудовано рівносторонні трикутники ABM і DCT. Доведи, що MD = BT і MC = AT.

1 спосіб:

Згідно з умовою ABCD — паралелограм і △ABM та △CDT — рівносторонні. Оскільки за властивостями паралелограма AB = CD, то AM = MB = CT = DT = CD = AB, ∠MAB = ∠DCT = 60°.

Нехай O — точка перетину діагоналей AC і BD, тоді AO = OC, BO = OD (теорема 3).

∠OAB = ∠OCD як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AC, тому ∠OAM = ∠OAB + 60° = ∠OCD + 60° = ∠OCT.

△AOM = △COT за двома сторонами і кутом між ними (AO = OC, AM = CT, ∠OAM = ∠OCT). Отже, OM = OT і ∠AOM = ∠COT. Точки A, O, C лежать на одній прямій, а M і T — по різні боки від неї, тому рівні кути AOM і COT — вертикальні, тобто точки M, O, T лежать на одній прямій і O — середина MT.

У чотирикутнику AMCT діагоналі AC і MT точкою перетину O діляться навпіл, тому AMCT — паралелограм (теорема 4) і MC = AT.

Аналогічно, у чотирикутнику MBTD діагоналі BD і MT точкою O діляться навпіл, тому MBTD — паралелограм і MD = BT.

2 спосіб:

ABCD — паралелограм, MB = AB = MA, CT = TD = CD.

Оскільки AB = CD, то MB = AB = MA = CT = TD = CD. Отже MB = DT.

△BCT = △DAM за двома сторонами і кутом між ними (BC = AD, CT = AM, ∠BCT = ∠DAM — як сума рівних кутів ∠BCD + ∠DCT = ∠DAB + ∠BAM), тоді BT = MD.

△MBC = △TDA за двома сторонами і кутом між ними (MB = TD, BC = AD, ∠MBC = ∠TDA — як сума рівних кутів ∠MBA + ∠ABC = ∠TDC + ∠CDA), тоді MC = AT.