78 Вправа 78Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 20

78. Бісектриси кутів A і C паралелограма ABCD перетинають сторони BC і AD у точках M і N відповідно. Доведи, що чотирикутник AMCN — паралелограм.

1 спосіб:

Нехай AM і CN — бісектриси кутів A і C відповідно. ABCD — паралелограм, тому ∠A = ∠C, тобто ∠MAD = ∠BCN. Крім того, ∠AMB = ∠MAD як різносторонні внутрішні, утворені січною AM з паралельними прямими BC і AD. Так само ∠CND = ∠BCN. Отже, ∠MAD = ∠CND, але ці кути — відповідні при прямих AM і CN та січній AD, тому AM ∥ CN. Крім того, MC ∥ AN, бо лежать на паралельних прямих BC і AD. Отже, за означенням чотирикутник AMCN — паралелограм.

2 спосіб:

Оскільки ∠A = ∠C, тоді ∠1 = ∠2 = ∠5 = ∠6.

Оскільки BC ∥ AD, то ∠2 = ∠3, ∠4 = ∠5 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних BC і AD та січних AM і CN).

Тоді ∠2 = ∠5 = ∠4. Кути 2 і 4 — відповідні при прямих AM і NC та січній AD, тому AM ∥ NC.

Оскільки AM ∥ NC — за доведеним, MC ∥ AN — оскільки MC і AN лежать на паралельних прямих (BC ∥ AD), то AMCN — паралелограм (за означенням паралелограма).